Qué hace que un problema matemático merezca años de esfuerzo

¿Cómo deciden los matemáticos qué preguntas son lo suficientemente interesantes como para merecer años de esfuerzo y dedicación? A veces depende de la reputación de quien las formula.

Así ocurrió con un pequeño problema que empezó como una curiosidad pero que, con los años, ha resultado estar profundamente conectado con varias áreas de las matemáticas.

Se trata de la conjetura de Atiyah, que lleva el nombre del matemático británico Michael Atiyah (1929-2019), uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX.Entre sus resultados más célebres, que le valieron la Medalla Fields y el Premio Abel, los máximos honores de las matemáticas, está el teorema del índice de Atiyah-Singer, que tiende un puente entre el análisis y la topología.

En un episodio mucho menos conocido, Atiyah planteó, casi de pasada, una pregunta sobre ciertos números asociados a espacios geométricos, los llamados números de Betti L².A lo largo de las décadas, los intentos de responderla han dado lugar a nuevas técnicas matemáticas que han resultado fructíferas mucho más allá del problema original.

Ocurre algo parecido con el famoso caso del último teorema de Fermat .

Empezó como una simple afirmación sobre las soluciones en números enteros de la ecuación aⁿ + bⁿ = cⁿ.

Hacia 1637, Pierre de Fermat escribió una nota en el margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto, junto a un problema sobre cómo descomponer un cuadrado en suma de dos cuadrados, en la que aseguraba que no existen soluciones para exponentes mayores que dos, y afirmó tener una demostración que no cabía en el margen del libro.Sin embargo, hicieron falta mundos enteros de teoría matemática, los de las curvas elípticas y las formas modulares, para que Andrew Wiles lograra finalmente demostrarlo en 1995.Los números de BettiEn el caso de Atiyah, la pregunta surgió mientras sentaba las bases de una nueva teoría.

El teorema del índice, en su formulación original, se aplica a ciertos espacios geométricos, llamados variedades compactas, como una circunferencia o una esfera, que son finitos.

La idea de Atiyah era extender el teorema a espacios infinitos como el plano, denominados espacios no compactos.

Para ello, inició la teoría de los números de Betti L², análogos analíticos de los números de Betti clásicos de un espacio geométrico.Todo espacio geométrico, como una esfera o un toro, tiene asociada una lista infinita de números de Betti que, a grandes rasgos, cuentan sus agujeros.

El primer número de Betti de una forma cuenta sus agujeros unidimensionales; el segundo, sus agujeros bidimensionales, y así sucesivamente.

Un agujero unidimensional es aquel que se puede rodear con un lazo, de modo que el lazo no puede encogerse hasta un punto.